Avec une suite géométrique - Corrigé

Énoncé

Soit \(n \in \mathbb{N}^\ast\) .

1. On note \(S_n\) la somme des \(n\) premiers termes de la suite géométrique de raison \(11\) et de premier terme \(1\) . Calculer \(S_n\) en fonction de \(n\) .

2. En déduire que \(11^n+99\) est un multiple de \(10\) .

Solution

1. On note \((u_n)\) la suite géométrique de raison \(q=11\) et de premier terme \(u_1=1\) .
Pour tout \(n \in \mathbb{N}^\ast\) , \(u_n=u_1 \times q^{n-1}=1 \times 11^{n-1}=11^{n-1}\) . On a alors : 
\(\begin{align*}S_n& =u_1+u_2+u_3+...+u_n\\& = u_1+u_1 \times q+u_1 \times q^2+...+u_1 \times q^{n-1}\\& = u_1 \times (1+q+q^2+...+q^{n-1})\\& = u_1 \times \frac{1-q^n}{1-q}\\& = 1 \times \frac{1-11^n}{1-11}\\& = \frac{11^n-1}{10}\end{align*}\)   
donc  \(S_n=\dfrac{11^n-1}{10}\) .

2. Pour tout \(n \in \mathbb{N}^\ast\) , \(u_n=11^{n-1}\) est un nombre entier, en tant que puissance de \(11\) .
Par conséquent, \(S_n\) est un nombre entier en tant que somme de \(n\) nombres entiers.
D'après la question précédente, puisque \(S_n \in \mathbb{Z}\) , on en déduit que \(11^n-1\) est divisible par \(10\) , autrement dit qu'il existe un entier \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(11^n-1=10k\) .
On a donc : \(\begin{align*}11^n+99=10k+1+99=10k+100=10(k+10)=10k'\end{align*}\)
avec \(k'=k+10 \in \mathbb{Z}\) , ce qui signifie que \(11^n+99\) est un multiple de \(10\) .